2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：同余
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2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：同余
Ø 第三章 同余
一、 主要內(nèi)容
同余的定義、性質(zhì)、剩余類和完全剩余系、歐拉函數(shù)、簡(jiǎn)化剩余系、歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理、循環(huán)小數(shù)、特殊數(shù)2，3，4，5，6，7，8，9，11，13的整除規(guī)律
二、 基本要求
通過本章的學(xué)習(xí)，能夠掌握同余的定義和性質(zhì)，區(qū)別符號(hào)：“三”和=”之間的差異。能利用同余的一些基本性質(zhì)進(jìn)行一些計(jì)算，深刻理解完全剩余系，簡(jiǎn)化剩余系的定義、性質(zhì)及構(gòu)造。能判斷一組數(shù)是否構(gòu)成模m的一個(gè)完全剩余系或一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。能計(jì)算歐拉函數(shù)的值，掌握歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理的內(nèi)容以及證明方法。能應(yīng)用這二個(gè)定理證明有關(guān)的整除問題和求余數(shù)問題。能進(jìn)行循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化。
三、難點(diǎn)和重點(diǎn)
(1)同余的概念及基本性質(zhì)
(2)完全剩余系和簡(jiǎn)化剩余系的構(gòu)造、判別
(3)歐拉函數(shù)計(jì)算、歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理的證明及應(yīng)用
(4)循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化
(5)特殊數(shù)的整除規(guī)律。
四、自學(xué)指導(dǎo)
同余理論是初等數(shù)論中最核心的內(nèi)容之一，由同余定義可知，若a≡b(mod m)，則a和b被m除后有相同的余數(shù)。這里m為正整數(shù)，一般要求m大于1，稱為模，同余這一思想本質(zhì)上是將整數(shù)按模m分類，然后討論每一個(gè)類中整數(shù)所具有的共性及不同類之間的差異。第一章中用帶余除法定理將整數(shù)分類解決一些問題的方法只不過是同余理論中的一個(gè)特殊例子。從同余的定理上看，同余和整除實(shí)際上是同一回事，故同余還有二個(gè)等價(jià)的定義：①用整除來定義即 m∣a-b 。②用等號(hào)來定義a=b+mt 。值得注意a和b關(guān)于m同余是個(gè)相對(duì)概念。即它是相對(duì)于模m來講，二個(gè)整數(shù)a和b關(guān)于一個(gè)整數(shù)模m同余。則對(duì)于另一個(gè)整數(shù)模m
，a和b未必會(huì)同余。
從定義上看，同余和整除是同一個(gè)事情，但引進(jìn)了新的符號(hào)“三”后，無論從問題的敘述上，還是解決問題的方法上都有了顯著的變化，同時(shí)也帶來了一些新的知識(shí)和方法。在引進(jìn)了同余的代數(shù)性質(zhì)和自身性質(zhì)后，同余符號(hào)“三”和等號(hào)“=”相比，在形式上有幾乎一致的性質(zhì)，這便于我們記憶。事實(shí)上在所有等號(hào)成立的運(yùn)算中，只有除法運(yùn)算是個(gè)例外，即除法的消去律不成立。為此對(duì)于同余的除法運(yùn)算我們有二種除法：
(i)模不改變的除法，若ak≡bk(mod m) ，(k,m)=1，則a≡b(mod m)
(ii)模改變的除法, 若ak≡bk(mod m) (k,m)=d,則a≡b
這一點(diǎn)讀者要特別注意。
完全剩余系和簡(jiǎn)化剩余系是二個(gè)全新的概念，讀者只要搞清引成這些概念的過程。因?yàn)橥嚓P(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用等價(jià)關(guān)系可以進(jìn)行將全體整數(shù)進(jìn)行分類，弄清來朧去脈，對(duì)于更深刻理解其本質(zhì)是很有好處的。完全剩余系或簡(jiǎn)化剩余系是一個(gè)以整數(shù)為元素的集合，在每個(gè)剩余類各取一個(gè)數(shù)組成的m個(gè)不同數(shù)的集合，故一組完全剩余系包含m個(gè)整數(shù)，由于二個(gè)不同的剩余類中的數(shù)關(guān)于m兩兩不同余，故可得判別一組數(shù)是否為模m的一個(gè)完全剩余系的條件有二條為
(1) 個(gè)數(shù)=m
(2) 關(guān)于m兩兩不同余
另外要能用已知完全剩余系構(gòu)造新的完全剩余系。即有定理
設(shè)(a，m)=1，x為m的完全剩余系，則ax+b也是m的完全剩余系。
當(dāng)
時(shí)，能由
的完全剩余系和
的完全剩余系，構(gòu)造
完全剩余系。為討論簡(jiǎn)化剩余系，需要引進(jìn)歐拉函數(shù)φ(m)，歐拉函數(shù)φ(m)定義為不超過m且與m互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(m)，要掌握φ(m)的計(jì)算公式，了解它的性質(zhì)。這些性質(zhì)最主要的是當(dāng)(a ,b)=1時(shí)，φ(ab) = φ(a) φ(b)，和
現(xiàn)在在剩余類中把與m互素的集合分出來，從中可在各個(gè)集合中任取一個(gè)數(shù)即可構(gòu)造模m的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。另一方面，簡(jiǎn)化剩余數(shù)也可從模m的一個(gè)完全剩余系中得到簡(jiǎn)化剩余系，一組完全剩余系中與m互素的的數(shù)組成的φ(m)個(gè)不同數(shù)的集合稱為m簡(jiǎn)化剩余系。同樣簡(jiǎn)化剩余系也有一個(gè)判別條件。
判別一組整數(shù)是否為模m的簡(jiǎn)化剩余系的條件為
(1) 個(gè)數(shù)=φ(m)
(2) 關(guān)于m兩兩不同余
(3) 每個(gè)數(shù)與m互素
關(guān)于m的簡(jiǎn)化剩余系也能用已知完全剩余系構(gòu)造新的簡(jiǎn)化剩余系。
設(shè)(a，m)=1，x為m的簡(jiǎn)化剩余系，則ax也是m的簡(jiǎn)化剩余系。
當(dāng)
時(shí)，能由
的簡(jiǎn)化剩余系和
的簡(jiǎn)化剩余系，構(gòu)造
簡(jiǎn)化剩余系。
歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理是同余理論非常重要的定理之一。要注意歐拉定理和費(fèi)爾馬定理的條件和結(jié)論。
歐拉定理：設(shè)m為大于1的整數(shù)，(a，m)=1，則有
費(fèi)爾馬小定理：若p是素?cái)?shù)，則有
除此以外，歐拉定理的證明的思想是非常好的，在各個(gè)地方都有應(yīng)用。就歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理來講，它在某些形如a
數(shù)的整除問題應(yīng)用起來顯得非常方便。同余方法也是解決整除問題的方法之一。
另外同余方法在證明不定方程時(shí)也非常有用，即要掌握同余“三”和相等“=”的關(guān)系：相等必同余，同余未必相等，不同余肯定不相等。
對(duì)于特殊數(shù)的整除規(guī)律要求能掌握其一般定理的證明，并熟記一些特殊數(shù)的整除規(guī)律
1、 一個(gè)整數(shù)被2整除的充要條件是它的末位為偶數(shù)。
2、 一個(gè)整數(shù)被3整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被3整除。
3、 一個(gè)整數(shù)被9整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被9整除。
4、 一個(gè)整數(shù)被5整除的充要條件是它的末位為0或5。
5、 一個(gè)整數(shù)被4，25整除的充要條件是它的末二位能被4，25整除。
6、 一個(gè)整數(shù)被8，125整除的充要條件是它的末三位能被8，125整除。
7、 設(shè)
，則7或11或13整除a的充要條件是7或11或13整除
五、例子選講
例1：求3406的末二位數(shù)。
解：∵ (3，100)=1，∴3
≡1(mod 100)
(100)=
(22·52)=40, ∴ 340≡1(mol 100)
∴ 3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100)
∴ 末二位數(shù)為29。
例2：證明(a+b)p≡ap+bp(mod p)
證：由費(fèi)爾馬小定理知對(duì)一切整數(shù)有：ap≡a(p)，bp≡b(P)，
由同余性質(zhì)知有：ap+bp≡a+b(p)
又由費(fèi)爾馬小定理有(a+b)p≡a+b (p)
(a+b)p≡ap+bp(p)
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