本章的重點(diǎn)是命題概念及其表示、命題公式化簡(jiǎn)、主范式及其互化、P規(guī)則、T規(guī)則以及CP規(guī)則。難點(diǎn)是推理理論及應(yīng)用。

　　一、命題概念(領(lǐng)會(huì))

　　學(xué)習(xí)本章首先要深刻理解命題的概念。理解原子命題與復(fù)合命題的關(guān)系，在了解復(fù)合命題的基礎(chǔ)上，理解聯(lián)結(jié)詞的定義。

　　命題：具有唯一真值的陳述句稱(chēng)為命題，又簡(jiǎn)稱(chēng)語(yǔ)句。注意，這里有兩個(gè)條件，首先它是一個(gè)陳述句，其次，它具有唯一的一個(gè)真值。

　　真值：就是語(yǔ)句為真或假的性質(zhì)。一個(gè)語(yǔ)句的真值可以為真也可以為假。真值不是說(shuō)該語(yǔ)句的值必為真。

　　任一命題必有其真值，也稱(chēng)這個(gè)命題的值。既然是命題了，那它必有一個(gè)確定的真值，不管這個(gè)真值為真還是為假。當(dāng)一個(gè)陳述句能夠分辯其值的真假時(shí)(也就是說(shuō)，總可以肯定是其中的某一個(gè))，它就是命題，即使我們不知道它是真還是假。

　　另外要理解命題常量、命題變?cè)爸概傻暮x。

　　復(fù)合命題就是一些原子命題經(jīng)過(guò)一些聯(lián)結(jié)詞復(fù)合而成的命題。常用的聯(lián)結(jié)詞有：(1)否定、(2)合取、(3)析取、(4)條件、(5)雙條件

　　復(fù)合命題與聯(lián)系詞是密切相關(guān)的，不包含聯(lián)結(jié)詞的命題就是原子命題，至少包含一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的命題才是復(fù)合命題。

　　復(fù)合命題的真值只取決于構(gòu)成它們的各原子命題的真值，而與它們的內(nèi)容含義無(wú)關(guān)。對(duì)聯(lián)結(jié)詞所聯(lián)結(jié)的兩原子命題之間有無(wú)關(guān)系無(wú)關(guān)。(這一條很重要，因?yàn)橐粋€(gè)命題用自然語(yǔ)言表達(dá)時(shí)，我們往往會(huì)受到自然邏輯的影響，比如"我如果不上班，那么天下雨"這種命題，在自然的邏輯里，是不成立的，一個(gè)人不上班怎么會(huì)導(dǎo)致天下雨呢? 但是在這里，這個(gè)復(fù)合命題的值實(shí)際上是由兩個(gè)原子命題的真值決定的，與它的含義無(wú)關(guān)，這個(gè)復(fù)合命題是|P->Q ,前一個(gè)原子命題的真值為假，后一命題值為真，根據(jù)條件的定義，這個(gè)復(fù)合命題值為真)

　　∧、∨、←→具有對(duì)稱(chēng)性，|、→無(wú)對(duì)稱(chēng)性，(教材提示，也可用iff表示雙向箭頭←→，由于字符集的限制，本網(wǎng)頁(yè)在表示否定關(guān)聯(lián)詞時(shí)用"|"，請(qǐng)?jiān)跁?shū)寫(xiě)時(shí)注意規(guī)范寫(xiě)法。對(duì)稱(chēng)性是指真值表中復(fù)合命題的真值與原子命題的真值之間的關(guān)系。)

　　命題公式與命題不同，在一個(gè)由命題標(biāo)識(shí)符組成的式子中，如果標(biāo)識(shí)符表示確定的命題，則該式就是命題。如果標(biāo)識(shí)符只表示命題的位置，可由任何命題代替，則該式子就為命題公式。命題變?cè)狿用特定命題替代時(shí)，稱(chēng)為對(duì)P的指派。轉(zhuǎn)自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　不是所有由命題變?cè)?、?lián)結(jié)詞及有關(guān)括號(hào)組成的字符串都能成為命題公式。要成為一個(gè)命題公式(合式公式)，應(yīng)當(dāng)符合規(guī)定。這個(gè)規(guī)定是：

　　(1)單個(gè)命題變?cè)旧硎且粋€(gè)合式公式。

　　(2)如果A是合式公式，那么|A是合式公式。

　　(3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A←→B)都是合式公式。

　　(4)當(dāng)且僅當(dāng)有限次地應(yīng)用(1)(2)(3)所得到的包含命題變?cè)?、?lián)結(jié)詞和圓括號(hào)的符號(hào)串是合式公式。

　　總的理解就是說(shuō)，單個(gè)命題變?cè)呛鲜焦剑珊鲜焦阶鳛槊}變?cè)?，有限次地運(yùn)用聯(lián)結(jié)詞及括號(hào)組成的符串才能是合式公式。即命題公式，簡(jiǎn)稱(chēng)公式。

　　命題變?cè)挥羞M(jìn)行指派后才可能確定其所在命題公式的真值。當(dāng)一個(gè)命公式中的所有命題變?cè)靡唤M真值指定后，就稱(chēng)為對(duì)命題公式的指派。想一想，什么是真指派、什么是假指派? 這個(gè)比較簡(jiǎn)單。

　　一個(gè)命題的真值表應(yīng)該列出其所有指派的取值情況。一般來(lái)說(shuō)，由n個(gè)命題變?cè)M成的命題公式共有2n種真值情況。

　　聯(lián)結(jié)詞的簡(jiǎn)化，按照兩個(gè)等價(jià)的命題公式，可以看到一個(gè)有較多聯(lián)結(jié)詞的公式可以簡(jiǎn)化為含有一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的公式。這里有兩個(gè)等值公式應(yīng)當(dāng)記一下：

　　(|P∨Q)<=>(P→Q)

　　我們要弄清什么是"重言式(永真式)"、什么是"矛盾式(永假式)"以及"可滿(mǎn)足式"。這其中涉及到指派及命題公式的取值，容易理解。

　　課本中表1.3.6列出的常用的命題公式等價(jià)定理應(yīng)該記住的.

　　二、等價(jià)變換(簡(jiǎn)單應(yīng)用)

　　當(dāng)兩個(gè)合式公式中相應(yīng)變?cè)娜我环N真值指派情況下，這兩個(gè)公式的真值均相同，則這兩個(gè)合式公式是等價(jià)的?？梢韵嗷ブ脫Q。

　　有兩個(gè)命題公式A、B，A<=>B，當(dāng)且僅當(dāng)A←→B為一重言式(永真式)。這是什么意思呢? 就是說(shuō)，如果有兩個(gè)命題A、B，只有在命題公式(A←→B)(雙條件式)的值是永真的時(shí)候，這兩個(gè)命題才是等價(jià)的。

　　蘊(yùn)含式又稱(chēng)永真條件式。永真條件式更清楚地表達(dá)了它的定義，就是一個(gè)條件式P→Q，當(dāng)且僅當(dāng)它是重言式時(shí)，就稱(chēng)P蘊(yùn)含Q (P=>Q)。什么時(shí)候P→Q不是蘊(yùn)含式呢? 很明顯，當(dāng)P為真、Q為假時(shí)，它不是一個(gè)蘊(yùn)含式。

　　蘊(yùn)含式有四個(gè)性質(zhì)：轉(zhuǎn)自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　(1) 對(duì)任意公式A,有A=>A，即公式蘊(yùn)含本身。

　　(2) 對(duì)任意公式A，B和C，若A=>B、B=>C 則 A=>C。

　　(3) 對(duì)任意公式A，B和C，若A=>B、A=>C 則 A=>(B∧C)

　　證明如下：

　　如果A的值為T(mén)，由A→B、A→C為重言式可得B為T(mén)、C為T(mén)，此時(shí)B∧C為T(mén)。

　　如果A的值為F，則無(wú)論B、C為T(mén)或F，A→(B∧C)為T(mén)，所以A→(B∧C)是重言式，即A=>(B∧C)。

　　(4) 對(duì)任意公式A，B和C，若A=>C、B=>C 則 (A∨B)=>C

　　證明如下：

　　如果A的真值為T(mén)，由A→C為重言式可得C為T(mén)，此時(shí)不論B為何值，(A∨B)為T(mén)，(A∨B)->C為T(mén)。

　　若B為T(mén)，由B→C為重言式可得C為T(mén)，此時(shí)不論A為何值，(A∨B)為T(mén)，(A∨B)->C為T(mén)。

　　若A和B均為F，則不論C為何值，(A∨B)→C為T(mén)。所以(A∨B)=>C。

　　設(shè)P、Q為任意兩個(gè)命題公式，P<=>Q的充分必要條件是P=>Q，Q=>P.就是說(shuō)，若要證明兩個(gè)命題公式等價(jià)，只要證明兩個(gè)公式互相蘊(yùn)含。反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)公式是互為蘊(yùn)含的，那么，這兩個(gè)公式是等價(jià)的。

　　同樣，第14頁(yè)的表1.4.1也應(yīng)記住。

　　三、最小聯(lián)結(jié)詞組與范式：(簡(jiǎn)單應(yīng)用)

　　通過(guò)等價(jià)變換，我們可以把帶→、←→ 的公式全部化成只帶 {|、∧}或只帶{|、∨}的命題公式，這種只帶此兩種聯(lián)結(jié)詞的公式就是標(biāo)準(zhǔn)形式，即范式。

　　注意,單獨(dú)的|、∧、∨及{∨、∧}都不能是命題公式的最小聯(lián)結(jié)詞組。只有{|、∧}、{|、∨}是命題公式的最小聯(lián)結(jié)詞組。

　　范式根據(jù)其形式的不同又分為合取范式和析取范式。注意合取范式并不是只帶|和∧的公式。它要求各個(gè)子公式均是由命題變?cè)捌浞穸ńM成的析取式。而析取范式則恰恰相反。

　　由n個(gè)命題變?cè)?不是命題公式)組成的合取式，就稱(chēng)為布爾合取或小項(xiàng)，其中每個(gè)變?cè)c它的否定不能同時(shí)存在，但兩者必須出現(xiàn)(其中之一)且僅出現(xiàn)一次。就是說(shuō)每個(gè)變?cè)蚱浞穸ū卦谝粋€(gè)小項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)。

　　小項(xiàng)的三個(gè)性質(zhì)為：

　　(1)每個(gè)小項(xiàng)具有一個(gè)相應(yīng)編碼，當(dāng)該編碼與其真實(shí)指派相同時(shí)，該小項(xiàng)真值為T(mén)。其余各種指派情況下均為F。轉(zhuǎn)自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　(2)任意兩個(gè)不同小項(xiàng)的合取式永假。因?yàn)槊總€(gè)小項(xiàng)有唯一不同的編碼，當(dāng)指派與一個(gè)小項(xiàng)的編碼相同時(shí)，必與另一個(gè)小項(xiàng)的編碼不同，所以總有一個(gè)小項(xiàng)為假。

　　(3)全體小項(xiàng)的析取式為永真。因?yàn)樵谌我恢概汕闆r下，總有一個(gè)小項(xiàng)為真。

　　主析取范式是對(duì)應(yīng)于原命題公式而言的，它是原命題公式的一個(gè)等價(jià)公式，而且僅由小項(xiàng)的析取所組成。那么要最直接地找到一個(gè)命題公式的主析取范式，就可以應(yīng)用真值表，一個(gè)使公式真值為T(mén)的指派所對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)的析取就是此公式的主析取范式。

　　有了小項(xiàng)，則有大項(xiàng)(布爾析取),大項(xiàng)與小項(xiàng)定義的不同之處就是把合取變成了析取。

　　在真值表中一個(gè)公式的值為F的指派所對(duì)應(yīng)的大項(xiàng)的合取，即為此公式的合取范式。對(duì)于任意含有n個(gè)命題變?cè)姆怯勒婷}公式A，其合取范式是唯一的。

　　下面我們將小項(xiàng)與大項(xiàng)作一對(duì)比，以利記憶。

　　對(duì)課本中的例題應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)掌握。

　　1.6 推理理論(簡(jiǎn)單應(yīng)用)轉(zhuǎn)自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　推理就是把一些假設(shè)前提作為T(mén)，并使用一些公論的規(guī)則，得到另外的命題形成結(jié)論，這種過(guò)程很有意思，大偵探福爾摩斯就是深諳此道的人，如果我們學(xué)會(huì)了推理，那么在做一些智力題時(shí)是很有幫助的，就象是本章最后的那幾道題，一般人要翻來(lái)覆去考慮很久，看看我們能不能用公式來(lái)解開(kāi)它。

　　對(duì)于推理理論，主要要掌握的是判別有效結(jié)論的過(guò)程也就是論證過(guò)程。

　　有真值表法、主范式方法、等值演算法和構(gòu)造論證法。其中構(gòu)造論證法是本節(jié)的重點(diǎn)。

　　使用構(gòu)造論證法，首先要確定推理定律及等值定律，也就是我們前面學(xué)過(guò)的定律及公式可以直接應(yīng)用的，其次是要確定已知的前提，假設(shè)其值為真。推理過(guò)程就是一系列命題公式序列，其中每個(gè)命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論。那么常用的推理規(guī)則有：

　　(1)P規(guī)則：前提引入規(guī)則，就是在證明的任何步驟上都可以引入前提。

　　(2)T規(guī)則：結(jié)論引入規(guī)則，就是在證明的任何步驟上證明的結(jié)論都可以為后續(xù)證明的前提。

　　(3)轉(zhuǎn)換規(guī)則：也是T規(guī)則，就是可以在證明的任何步驟上進(jìn)行命題公式的等值替換。

　　還有一個(gè)定理就是CP規(guī)則： 若H1∧H2∧...Hn∧R=>C,則H1∧H2∧...Hn=>R→C

　　這些內(nèi)容相當(dāng)抽象，除了認(rèn)真仔細(xì)地做習(xí)題外，光這么看是無(wú)法掌握的，所以我們要好好地做完習(xí)題。

·2010年10月自學(xué)考試成績(jī)查詢(xún)時(shí)間及方式匯總

·2011年各地1、4月自學(xué)考試報(bào)名匯總

更多信息請(qǐng)?jiān)L問(wèn)：自學(xué)考試頻道    自學(xué)考試論壇    自學(xué)考試博客